(17)2025年高考重庆市(二诊)数学第17题99bt工厂2013

已知椭圆C:

x²/a²+y²/b²= l ( a > b >0）

的左， 右焦点分离为F₁， F₂， 上及其为

A， 直线AF₁的斜率为1， 且与C的另一

个交点为B ，△ABF₂的周长为8.

(1）求C的方程及|AB|的值；

(2）如图，将C沿x轴折起，使得折

叠后平面AF₁F₂⊥平面 BF₁F₂， 求F₂到

平面ABF₁的距离。

贯通：(1)设 F₁(-c ，0)，F₂(c ，0)，

A(0， b)，其中c²=a²-b²，

∵△ABF₂的周长为4a，

∴4a=8，得 a =2，

又∵a/c＝199bt工厂2013，

∴ b=c=√2，

∴椭圆方程 C: x²/4+y²/2=1，

∴直线AF : y = x +√2，

联立 y = x +√2，

x²/4+y²/2=1，

得 3x²+4√2x=0，

解得 x₁=-4√2/3，x₂=0(舍去)，

∴xB=-4√2/3，

代入 y = x +√2，

得 yB=-√2/3，

探花眼镜

∴lABl=√2·l0-4√2/3l=8/3.

(2）如图，确立直角坐标系，

图片

则 A (0， 0， √2)，

B (-4√2/3，-√2/3， 0)，

F₁(-√2， 0， 0)， F₂(√2， 0， 0)，

向量F₁A =(√2， 0， √2)，

向量F₁B =(-√2/3， √2/3， 0)，

向量F₁F₂＝(2√2， 0. 0)，

设平面 ABF₁的法向量为

n =( x ， y ， z )，

则有 向量F₁A·n=0，

向量F₁B·n =0，

∴ x+z=0， x + y =0，

取 n=(-1，1，1)，

∴F₂到平面ABF₁的距离

d =lF₁F₂·nl/lnl

=2√2/√3=2√6/3.99bt工厂2013

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